Bei meinem abendlichen Strolchzug durchs Netz bin ich über diesen Tweet gestossen.

9+9 = 18 _ 81 = 9*9 coincidence???

Ein bisschen nachgerechnet, nope, kein Zufall. Stimmt auch für andere kleinere Basen. Aber stimmt es auch für grosse Basen? Für alle?

Der Beweis dafür, dass es immer stimmt, ist ziemlich einfach.

Sei b eine Basis in ℕ > 1. Sei x = b-1.  aⁱ bezeichne die Koeffizienten der b-adischen Dahrstellung* von a.

Aus x+x = b-1+b-1 = b + (b-2) = 1*b¹ + (b-2)*b⁰ folgt, dass x+x  durch x⁰=b-2, x¹=1 darstellbar ist.

Dito ergeben sich für x*x = (b-1)*(b-1) = b^2 -2b + 1 = (b-2)*b¹ + 1*b⁰  => x’⁰=1, x’¹=b-2

Somit ist x⁰=x’¹ und x¹ = x’⁰. Was zu zeigen wahr.**

*aⁱ ist die i-te Stelle der Zahl wenn man sie ausschreibt. zB ist die dezimale Zahl 132 durch a⁰=2, a¹=3, a²=1 gegeben.

**endlich mal eine Anwendung für den ganzen Mathe-Quatsch.

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